Журнал "Неформальная наука", 2001-4

В статье введено понятие суперединства - модели 12-частного цикла, сформулированной в терминах теории единств. Приведён пример суперединства, описывающий 12 этапов эволюции мира.

Основным понятием теории единств [1] является единство - упорядоченная четвёрка элементов, обычно являющихся четырьмя частями циклического процесса; например, единство образуют четыре времени года. Иногда вслед за делением цикла на четыре части следует его деление на 12 частей. Так, год делится на 12 месяцев, 12-частный цикл играет особую роль в астрологии [2, 3].

Для моделирования 12-частного цикла с точки зрения теории единств введём понятие суперединства.

Определение. Суперединством называется единство (внешнее), элементы которого сами являются единствами (внутренними). При этом четвёртый элемент каждого внутреннего единства является внутренним единством, следующим за данным.

Поясним определение. Суперединство S является единством, состоящим из четырёх элементов, S = (A, B, C, D); это единство - внешнее. Каждый из элементов A, B, C, D, в свою очередь, является единством, т. е. состоит из четырёх элементов: A = (A₁, A₂, A₃, A₄), B = (B₁, B₂, B₃, B₄), C = (C₁, C₂, C₃, C₄), D = (D₁, D₂, D₃, D₄); эти единства - внутренние. Кроме того, четвёртый элемент каждого из внутренних единств A, B, C, D является следующим внутренним единством, а именно, A₄ = B, B₄ = C, C₄ = D и D₄ = A.

Если взять по три первых элемента у каждого из внутренних единств, то мы получим двенадцать элементов, не связанных равенствами: A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃, C₁, C₂, C₃, D₁, D₂, D₃; они называются элементами суперединства и образуют 12-частный цикл. Заметим, что такая структура, как суперединство, невозможна с точки зрения математической теории множеств, так как допускает бесконечно-убывающую цепь вложений множеств: A содержит B, B содержит C, C содержит D, D содержит A и т. д. Аппаратом для описания суперединства служит теория единств, не накладывающая формальных ограничений на отношения между единствами и их элементами.

В качестве примера суперединства приведём (гипотетическую) 12-частную схему эволюции мира (см. рис. 1). Каждое единство (A, B, C, D) представлено на схеме в виде, изображённом справа:

A
B	D
C

Духовный мир

Бог
идея	физ. мир
закон

Физический мир

частица
тело	биол. мир
структура

Разумный мир

человек
гений	дух. мир
маг

Биологический мир

клетка
растение	разум. мир
животное

Согласно этой схеме мир в процессе эволюции проходит 4 стадии, на каждой из которых возникает, а затем становится доминирующим один из четырёх субмиров. На первой стадии доминирует духовный мир, на второй - физический, затем - биологический, наконец, разумный. После разумного мира вновь доминирует духовный мир. Таким образом, эволюция носит циклический характер. Каждый из субмиров возникает в недрах предыдущего, развивается, будучи его частью, и наконец, приобретает самостоятельное значение, становится равным породившему его субмиру.

Четыре субмира образуют единство. Каждый из них сам является единством, таким образом, мы имеем дело с суперединством. Двенадцать элементов суперединства эволюции мира суть:

Бог, идея, закон, частица, тело, структура, клетка, растение, животное, человек, гений и маг.

Бог - начало и конец мира, его причина и цель;
идея - первичный неделимый элемент идеального мира, понятие, прообраз объекта из физического мира;
закон - связка идей, их взаимно определяющая, единство идей;
частица - неделимый элемент физического мира, квант вещества, энергии или поля;
тело - набор взаимосвязанных частиц, ощущаемый как единое целое;
структура - упорядоченный набор тел и частиц;
клетка - высокоорганизованная структура, первичный элемент живого;
растение - пассивное живое существо;
животное - активное живое существо;
человек - разумное существо;
гений - человек, для которого творческое состояние является естественным;
маг - человек с неограниченными творческими возможностями в любой сфере.

На начало : К аннотациям номера : На основную страницу

Замечание о единстве и расслоении общества

В статье продемонстрирована теория единств на примере единства, описывающего структуру общества. Пример взят из рекламного стихотворения.

Не так давно по радио транслировали одно рекламное стихотворение. Приведём его здесь с купюрами, заменив рекламируемый объект комментариями в угловых скобках:

Это произведение замечательно тем, что в нём перечислены основные слои общества, составляющие механизм его функционирования, причём это перечисление носит ярко выраженных характер единства (см. теорию единств [1]). Действительно, упомянуты четыре категории населения - рабочие (служащие фирм), бизнесмены (владельцы и директора фирм), чиновники (государственные служащие) и президент (управляющий государством). Эта четвёрка удовлетворяет трём основным свойствам единства: цикличности, двукритериальности и принципу гармонического дополнения.

Свойство цикличности состоит в том, что элементы четвёрки циклически упорядочены, т. е. первый предшествует второму, второй - третьему, третий - четвёртому, а четвёртый - первому. В данном примере предшествование означает зависимость в смысле общественной иерархии: рабочие зависят от бизнесменов, управляющих своих фирм; бизнесмены зависят от чиновников, разрешающих им вести бизнес, или нет; чиновники зависят от президента, назначающего их на должности; наконец, президент зависит от народа (избирается им), большинство в котором составляют рабочие.

Свойство двукритериальности состоит в том, что имеются два признака, каждому из которых удовлетворяют ровно два элемента из четырёх, причём реализуются все четыре варианта обладания/необладания этими признаками. В данном примере первый признак - работает ли человек в коммерческой или государственной структуре, второй - работает ли в качеcтве исполнителя или управляющего. Так, рабочий работает в коммерческой структуре в качестве исполнителя, бизнесмен - там же в качестве управляющего; чиновник - в государственной структуре в качестве исполнителя, президент - там же в качестве управляющего.

Наконец, принцип гармонического дополнения состоит в том, что четвёртый элемент обладает некоторыми экстремальными свойствами, может быть, искусственно добавлен к первым трём элементам, но тем не менее дополняет их до гармоничного целого. Этим четвёртым элементом является президент В отличие от первых трёх многочисленных слоёв населения, президент один; в этом его экстремальность. Разумеется, президент, будучи человеком, не в силах фактически управлять многочисленным обществом, а выполняет лишь функцию лидера, т. е. психологического ориентира для остальных. Поэтому приписывание ему управленческих функций есть не более, чем формальный акт; включение его в иерархию общества искусственно, но необходимо для гармоничности общества.

Таким образом, приведённая схема общества, с одной стороны, показывает его расслоение, а с другой - образует единство.

На начало : К аннотациям номера : На основную страницу

Теория прогрессий

Наряду с арифметической и геометрической рассмотрена третья в этом ряду - степенная прогрессия и изучены её свойства. Введено понятие среднего двух чисел и в его терминах дано определение прогрессии, обобщающее все рассмотренные прогрессии.

В математике известны арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел a₁, ..., a_n, в которой каждое число, начиная со второго, получено из предыдущего прибавлением одного и того же числа d, называемого разностью прогрессии. Другими словами, выполнены равенства:

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел a₁, ..., a_n, в которой каждое число, начиная со второго, получено из предыдущего умножением на одно и то же число d, называемое знаменателем прогрессии. Другими словами,

Между формулами (1) и (2) есть несомненное сходство, а именно, сложению в (1) соответствует умножение в (2), а в остальном они совпадают. Согласно теории арифметических действий [2] имеется бесконечный ряд действий, подчинённый единому закону. В нём на первом месте стоит сложение, на втором - умножение, далее - степень, суперстепень и т. д. (Действие, стоящее на i-м месте, называется действием i-го порядка.) Таким образом, ряд формул (1), (2) можно продолжить, выписав аналогичные формулы для степени и действий более высоких порядков, и каждая из этих формул будет задавать свой тип прогрессии. Мы остановимся на формуле, соответствующей степени, и определим степенную прогрессию.

Степенная прогрессия - это последовательность чисел a₁, ..., a_n, в которой каждое число, начиная со второго, получено из предыдущего возведением в фиксированную степень d, то есть

Число d назовём показателем степенной прогрессии. Пример степенной прогрессии доставляет последовательность чисел p₂(1), p₂(2), ..., p₂(n), где p₂(i), 1 < i < n, - количество булевых функций, зависящих от i переменных. Напомним, булева функций от i переменных [3] - это функция f(x₁, ..., x_i), у которой каждая переменная и сама функция принимают только значения 0 и 1. Булеву функцию от i переменных можно разложить по последней переменной и получить две булевы функции от (i - 1)-й переменной:

f(x₁, ..., x_i) = x_i & f₁(x₁, ..., x_{(i
- 1)}) V ~x_i & f₂(x₁, ..., x_{(i
- 1)}).

Таким образом, каждой функции f от i переменных соответствует пара функций (f₁, f₂) от (i - 1)-й переменной, следовательно p₂(i) = (p₂(i - 1))², т. е. числа p₂(1), ..., p₂(n) образуют степенную прогрессию с показателем 2.

Прогрессия каждого типа задаётся тремя параметрами: первым членом a₁, числом d и количеством членов n. Через эти параметры можно выразить все остальные характеристики прогрессии. В некоторых случаях такое выражание принимает вид формулы (т. е. суперпозиции элементарных функций). В стандартном курсе математики проходят формулы общего члена a_n прогрессии и суммы её членов S_n. Мы, кроме того, для некоторых прогрессий получим формулы произведения членов P_n и цепной экспоненты членов E_n. Числа S_n, P_n и E_n определяются так:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n,

P_n = a₁ · a₂ · ... · a_n,

E_n = (...(a₁^a_2)^...)^a_n.

Вывод формул мы опустим, он осуществляется сведением к известным формулам суммы членов арифметической и геометрической прогрессий; сами формулы приведены в таблице. Через a^b обозначена суперстепень [2] - действие четвёртого порядка; степень иногда обозначена через a^b. Можно заметить, что формулы общих членов похожи, а также, что среди формул для величин S_n, P_n и E_n имеются две группы из трёх похожих формул (похожесть означает, что некоторые арифметические действия заменены на другие, а структура формулы та же).

	арифметическая	геометрическая	степенная
a_n	a₁ + d(n - 1)	a₁· d^{(n - 1)}	a₁^{(d^(n - 1))}
S_n	a₁n + d · n(n - 1)/2	a₁ · (dⁿ - 1)/(d - 1)	-
P_n	-	a₁ⁿ · d^{n(n - 1) / 2}	a₁^{(d^n - 1) / (d - 1)}
E_n	-	(a₁ⁿ)^{d^(n(n - 1) / 2)}	a₁^{(d^n - 1) / (d - 1)}
f_ср	(x + y) / 2	(xy)^1/2	exp {(ln x · ln y)^1/2}
g_п	x	ln x	ln ln x

4. Основное свойство прогрессии и функция среднего

Основным свойством любой прогрессии является свойство среднего: любой член a_i, кроме первого и последнего, есть среднее в некотором смысле соседних с ним членов a_{(i
- 1)} и a_{(i + 1)}, т. е.

здесь f_ср - функция среднего, которая зависит от типа прогрессии. Для арифметической прогрессии функция среднего - это среднее арифметическое, f_ср(x, y) = (x + y) / 2, для геометрической прогрессии функция среднего - это среднее геометрическое, f_ср(x, y) = (xy)^1/2. Степенная прогрессия также обладает свойством среднего, её функция среднего приведена в таблице. Дадим общее определение прогрессии через её основное свойство, для этого формализуем понятие функции среднего.

Определение 1. Пусть D - промежуток действительной прямой R. Функция двух аргументов f_ср: D x D -> D называется функцией среднего, если выполнены условия (на всей области определения):

Примером функции среднего, кроме уже рассмотренных, является функция f_ср(x, y) = ((x^p + y^p) / 2)^1/p для любого числа p, не равного нулю.

Определение 2. Последовательность чисел a₁, ..., a_n называется прогрессией, если для некоторой функции среднего f_ср выполнена серия равенств (3).

Функция f_ср называется средним прогрессии и задаёт её тип: две прогрессии c одним и тем же средним называются однотипными. Прогрессия однозначно восстанавливается по её типу, первым двум членам и количеству членов: третий и последующие члены однозначно восстанавливаются из равенств (3), так как функция среднего строго возрастает.

Среди условий а)-е) в определении функции среднего единственное неочевидное - г). Смысл его состоит в том, что среднее четырёх чисел не зависит от порядка его вычисления. Благодаря этому свойство среднего можно распространить на любые два члена прогрессии, находящиеся друг от друга на чётном расстоянии, а именно, справедливо обобщение системы равенств (3):

a_i = f_ср(a_{(i
- k)}, a_{(i
+ k)}),

1 < i - k < i + k < n,

k = 0, 1, ...,

(4)

которое выполнено для рассмотренных нами типов прогрессий. Условие г) существенно ограничивает класс функций среднего, так, что функция среднего допускает простое выражение через функцию одной переменной - плотность прогрессии.

Известно, что любую непрерывную функцию двух и большего числа переменных можно выразить через непрерывные функции одной переменной и сложение [1]. Справедлива следующая теорема, дающая такое представление для любой функции среднего.

Теорема. Функция f_ср(x, y) является функцией среднего тогда и только тогда, когда она выражается через некоторую функцию g_п(x) следующим образом:

функция g_п определена на множестве D, взаимно однозначна и непрерывна, g_п^-1 - обратная к ней функция.

Функцию g_п назовём плотностью прогрессии со средним f_ср. Плотность арифметической прогрессии есть тождественная функция g_п(x) = x, геометрической - логарифм g_п(x) = ln x; действительно,

f_ср(x, y) = (xy)^1/2 = exp {(ln x + ln y) / 2} = g_п^-1((g_п(x) + g_п(y)) / 2)

(exp - экспонента e^x). Плотность степенной прогрессии есть двойной логарифм, плотности приведены в таблице.

Теорема показывает, что любая функция среднего сводится к среднему арифметическому с помощью некоторого взаимно-однозначного непрерывного отображения, заданного на промежутке действительной прямой. Следовательно, всякая прогрессия сводится к арифметической прогрессии с помощью такого отображения. Действительно, если a₁, ..., a_n - прогрессия со средним f_ср и плотностью g_п, то выполнены равенства

g_п(a_i) = g_п(f_ср(a_{(i
- 1)}, a_{(i
+ 1)})) = (g_п(a_{(i
- 1)}) + g_п(a_{(i
+ 1)})) / 2,

i = 2, ..., n - 1.

Это означает, что последовательность g_п(a₁), ..., g_п(a_n) является арифметической прогрессией.

Напротив, если a₁, ..., a_n - арифметическая прогрессия, то последовательность g_п^-1(a₁), ..., g_п^-1(a_n) будет прогрессией с плотностью g_п. Заметим, что функция g_п^-1 также является взаимно-однозначной, непрерывной и задана на промежутке. Поэтому можно дать следующее определение прогрессии, равносильное определению 2.

Определение 3. Прогрессия есть образ арифметической прогрессии при некотором взаимно-однозначном непрерывном отображении промежутка действительной прямой.

Такому определению соответствует любая конечная монотонная последовательность чисел. Однако, если рассматривать множество однотипных погрессий, то это определение будет давать существенные ограничения. Можно также ограничить класс допустимых отображений, например гладкими или элементарными.

Изложим схему доказательства теоремы. То, что любая функция f_ср вида (5) является функцией среднего, доказывается непосредственной проверкой свойств а)-е). Для доказательства обратного утверждения по данной функции f_ср построим требуемую функцию g_п.

Обозначим через Q₂ множество всех двоично-рациональных чисел, т. е. чисел вида n / 2^k, n - целое, k - натуральное или 0. Определим теперь множество точек x_µ из D для некоторых индексов µ из Q₂. Во-первых, выберем произвольно точки x₀ и x₁ из D (x₀ < x₁). По ним определим точки вида x_(1/2^k) следующим образом: x_1/2 = f_ср(x₀, x₁), x_1/4 = f_ср(x₀, x_1/2), ..., x_(1/2^k) = f_ср(x₀, x_{(1/2^(k
- 1))}), ... Далее, для произвольных n > 0 и k построим прогрессию (со средним f_ср) a₀, a₁, ..., a_n, у которой a₀ = x₀, a₁ = x_(1/2^k). Такая прогрессия определяется однозначно. Положим x_{(n /
2^k)} = a_n. Если n < 0, то аналогично рассмотрим прогрессию a₁, a₀, a_-1, ..., a_n и положим x_{(n / 2^k)} = a_n.

Одно и то же число может несколькими способами представляться в виде n / 2^k; корректность выбора точек x_µ (совпадение их при одинаковых µ) следует из свойств а), в), г) функции f_ср. Из свойств б) и д) следует строгая монотонность точек x₀xµ относительно индексов µ (т. е. x_µ > x_µ' при µ > µ').

Индексы всех определённых точек образуют множество D', пересечённое с Q₂, где D' - промежуток действительной прямой. Положим g_п(x_µ) = µ, если µ принадлежит D' и Q₂, а для остальных x из D функцию g_п(x) доопределим по непрерывности. Определённая так функция g_п будет давать непрерывное взаимно-однозначное отображение промежутка D на D'. Кроме того, для всех x и y вида x_µ (µ из Q₂) выполнено равенство (5), что следует из системы (4). По непрерывности равенство (5) распространяется на весь промежуток D.

[1] Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // ДАН СССР. - 1957. - Т. 114, № 5. - С. 953-956.
обратно к тексту

[3] Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - 384 с.
обратно к тексту