Журнал "Неформальная наука", 2001-2

Теория арифметических действий

Черухин Д. Ю.

24/8/2001

В статье введена последовательность действий над числами, продолжающая ряд: сложение, умножение, степень; исследованы свойства действия, непосредственно следующего за степенью - суперстепени, и обратных к ней действий.

Рассмотрим семь известных арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, степень, корень, логарифм. Их можно объединить в три группы, внутри каждой из которых действия взаимно-обратны; в первую входят сложение и вычитание, во вторую - умножение и деление, в третью - степень, корень и логарифм. Вообще говоря, у произвольного двуместного действия _° имеются два обратных: если x _° y = z, то первое обратное действие находит x по известным y и z, а второе находит y по x и z; так дело обстоит со степенью. Однако, если действие коммутативно, т. е.  x _° y = y _° x, то оба обратных действия совпадают, как в случае сложения и умножения.

В каждой группе действий можно выделить одно, которое мы будем называть прямым. Прямое действие характеризуется тем, что, будучи применённым к произвольным натуральным числам, даёт натуральное число. Прямыми действиями являются сложение, умножение и степень. Среди прямых действий имеется естественный порядок. Самое младшее из них - сложение, его будем называть действием первого порядка. Следующее за ним действие - умножение, действие второго порядка, выражается через сложение следующим образом (для натуральных y):

Наконец, степень, действие третьего порядка, аналогично выражается через умножение:

Продолжим цепочку равенств (1), (2) и определим действие четвёртого порядка - суперстепень:

(показатель суперстепени подчёркивается). Расстановка скобок в (3) существенна, так как степень не обладает свойством ассоциативности (x _° y) _° z = x _° (y _° z), в отличие от сложения и умножения.

При определении суперстепени мы выбрали прямую расстановку скобок (слева направо) потому, что в этом случае можно распространить суперстепень на отрицательные показатели. Действительно, равенство (3) равносильно такому рекурсивному определению суперстепени:

Приняв равенство x ^y = (x^{y - 1})^x в качестве правила для любого целого y, мы получим: x ⁰ = x^1/x, x ^-1 = (x^1/x)^1/x и т. д. Если бы мы в (3) выбрали обратную расстановку скобок (справа налево), то получили бы правило x ^y = x^{(x ^ (y-1))} (здесь x ^ y = x^y), согласно которому x ⁰ = 1, x ^-1 = 0, и, символически, x ^-2 равно минус бесконечности; определить x ^-3 не представляется возможным.

Суперстепень обладает свойствами:
(i) x ^y = x^{(x ^ (y-1))};
(ii) (x ^y) ^z = x ^{(x ^ (y-1) (z - 1) + y)};
(iii) (x^y) ^z = (x ^{y (z - 1) + 1})^y;
(iv) x ^y = ((x^{y - 1}) ²)^{1/(y - 1)}.

Свойство (i) является основным, оно следует непосредственно из (3) и позволяет распространить суперстепень на вещественные и комплексные показатели; свойства (ii)-(iv) выводятся из (i) алгебраическими преобразованиями.

Обратные к суперстепени действия - суперкорень и суперлогарифм, определяются следующим образом:

если x ^y = z, то superroot ^y z = x и superlog _x z = y;

(показатель суперкорня подчёркивается, слово log надчёркивается). Из свойства (i) суперстепени следует формула

superlog _x z = log_x log_x z + 1,

выражающая суперлогарифм через обычный логарифм; из (iv) вытекает формула

superroot ^y z = (superroot ² (z^{y - 1}))^{1/(y - 1)},

выражающая суперкорень произвольной степени через квадратный суперкорень. Квадратный суперкорень, по-видимому, не выражается в элементарных функциях; можно выписать лишь асимптотическое его выражение:

superroot ² x ~ log x / log log x,

при x стремящемся к бесконечности; дробь в нём асимптотически не зависит от основания логарифма.

Продолжим ряд равенств (1), (2), (3) и определим действия пятого и высших порядков. Прямое действие порядка z над числами x и y будем обозначать через x l_z y. Действие каждого порядка z, начиная со второго, выражается через действие предыдущего порядка по формуле

Расстановка скобок выбрана здесь из тех же соображений, что и при определении суперстепени.

Исходя из формулы (4) можно дать рекурсивное определение прямого действия произвольного порядка:

Таким образом, введено арифметическое сверхдействие трёх аргументов, вобравшее в себя все прямые арифметические действия. Обратные действия порядка z при z > 4 определяются по аналогии с суперкорнем и суперлогарифмом.

Действия порядков, начиная с пятого, по-видимому не обладают алгебраическими свойствами наподобие (i)-(iv). Поэтому представляется возможным исследовать лишь отдельные закономерности. Простейшим примером такой закономерности является равенство 2 l_z 2 = 4, справедливое для любого z. Для действий первых четырёх порядков выполнено равенство 2 l_z 4 = 4 l_z 2; при z = 1, 2 оно следует из коммутативности, при z = 3, 4 проверяется непосредственно: 2⁴ = 16 = 4², 2 ⁴ = 2^{(2 ^ 3)} = 2⁸ = 4⁴ = 4 ². Для действий порядков 5 и 6 это равенство нарушается, причём знаки неравенств обращены в разные стороны: 2 l₅ 4 > 4 l₅ 2, но 2 l₆ 4 < 4 l₆ 2.

Докажем эти неравенства, пользуясь свойством (ii) суперстепени:

2 l₅ 4 = ((2 ²) ²) ² = (4 ²) ² = 4 ⁶ > 4 ⁴ = 4 l₅ 2;

обозначим A = 4 l₅ 2 = 4 ⁴, тогда

4 l₆ 2 = 4 l₅ 4 = ((4 ⁴) ⁴) ⁴ = (A ⁴) ⁴ = A ^{((A ^ 3) · 3 + 4)} > A ^A = A l₅ 2 = (4 l₅ 2) l₅ 2 = ((2 l₅ 2) l₅ 2) l₅ 2 = 2 l₆ 4.

Вопрос о сравнении чисел 2 l_z 4 и 4 l_z 2 при больших z остаётся открытым.

(C) Черухин Д. Ю., 2001

на начало статьи : к аннотациям номера : на главную страницу

Теория единств

Черухин Д. Ю.

28/8/2001

В статье введено понятие единства - гармоничной четвёрки объектов, приведено множество примеров единств, рассмотрены совокупности взаимосвязанных единств и их наиболее симметричный случай - системы единств. Дана полная классификация систем единств и изучены их свойства.

Предметом изучения теории единств являются единства и их совокупности. Единством будем называть упорядоченную четвёрку объектов, сходных между собой, гармонически дополняющих друг друга и составляющих единое целое; эти объекты назовём элементами единства. Данное понятие единства неформально, дополним его некоторыми абстрактными характеристиками и разберём на примерах.

Обычно можно выделить два свойства, которыми могут обладать или не обладать элементы единства; тогда четыре элемента единства подобраны так, что реализуются все четыре варианта обладания/необладания этими двумя свойствами. Далее, в некоторых случаях четыре элемента единства - это четыре стадии циклического, кругового процесса (в пространстве, времени или причинно-следственном поле). Они следуют друг за другом в естественном порядке: первая, вторая, третья, четвёртая; четвёртая предшествует первой.

Иногда первые три элемента можно выбрать произвольно из некоторого множества, а четвёртый, дополняющий их до единства, однозначно определяется по первым трём. В этом случае мы имеем совокупность взаимосвязанных единств. Если совокупность единств обладает достаточными свойствами симметрии, то речь идёт о системе единств; точное определение системы единств мы дадим позже.

Первый пример, порождающий целый ряд примеров - прямоугольная система координат на плоскости. Имеются две оси, и два направления на каждой из них; эти четыре направления образуют единство, в географии это - единство сторон света (восток, юг, запад, север). Также единство образуют четыре части плоскости (квадранты), на которые её делят координатные оси.

Если провести окружность с центром в начале координат, то точки пересечения её с осями, а также дуги окружности, лежащие в квадрантах, образуют единства. Любой циклический процесс можно напрямую или аллегорически связать с окружностью: процесс описывается как циклическое движение точки по окружности в выбранном направлении. При этом процесс подразделяется на четыре стадии, соответствующие четырём дугам окружности, или же выделяются четыре критические точки процесса, соответствующие точкам пересечения окружности с осями. Эти стадии или критические точки образуют единства.

Так, четыре стадии образуют единство в процессе движения Земли вокруг Солнца - это единство времён года (весна, лето, зима, осень); или в процессе вращения Земли вокруг своей оси - единство частей суток (утро, день, вечер, ночь). Четыре критические точки образуют единство в процессе вращения Луны вокруг Земли - единство фаз Луны (новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть).

Предыдущие примеры единств имеют в основе один геометрический образ - квадрат. Следующим примером, обобщающим квадрат, является параллелограмм. Параллелограмм можно построить по трём произвольным вершинам, четвёртая определяется по ним однозначно; таким образом, мы имеем дело с совокупностью единств. Если первые три вершины обозначить через A, B и C (их можно задать векторами из начала координат), то четвёртая вершина D определяется по формуле

Ещё один пример - пропорция:

(члены пропорции мы обозначили в круговом порядке, чтобы было видно сходство с параллелограммом). По трём известным членам пропорции, пусть это будут A, B и C, можно однозначно определить неизвестный, D, по формуле

Здесь мы тоже имеем дело с совокупностью единств. Заметим, что формулы (1) и (3) похожи: в (3) вместо сложения присутствует умножение, а вместо вычитания - деление.

Пропорция (2) имеет следующую гуманитарную интерпретацию: предмет (понятие) B также относится к C, как A относится к D (например, холод к ночи также, как тепло к дню); совокупность четырёх понятий (A, B, C, D) является единством. По мнению автора, единство такого типа вполне могло бы быть задействовано в нашем мозгу в качестве элементарной единицы знания; по крайней мере, таковой оно могло бы стать в искусственном интеллекте.

Обобщая с математической точки зрения формулы (1) и (3), можно определить совокупность единств в любой абелевой группе, т. е. множестве, на котором введена двуместная операция _° (её можно ассоциировать со сложением или умножением), обладающая свойствами:

i) x _° y = y _° x (коммутативность);
ii) (x _° y) _° z = x _° (y _° z) (ассоциативность);
iii) существует элемент e такой, что x _° e = x (e - нейтральный элемент, 0 для сложения, 1 для умножения);
iv) для каждого x можно найти противоположный (обратный) к нему элемент (-x) такой, что x _° (-x) = e.

Единством в абелевой группе является любая четвёрка элементов (x, y, z, t), в которой четвёртый t найден из первых трёх по формуле

Можно сказать, что совокупность единств задаёт аффинную структуру абелевой группы.

Наконец, пример совокупности единств доставляет нам теория арифметических действий [1]: четвёрка натуральных чисел (x, y, z, t) образует единство, если четвёртое найдено из первых трёх по формуле t = x l_z y; операция x l_z y рассматривается как трёхместное сверхдействие, вобравшее в себя все прямые арифметические действия. Этот пример был отправным в исследованиях автора. Следующим шагом была попытка доопределить сверхдействие на основных числах и рассмотреть его ограничение на множество основных чисел, в надежде, что совокупность единств, порождённая этим ограничением, будет более совершенной (в смысле свойств симметрии), чем предыдущая совокупность единств на множестве натуральных чисел.

Основные числа - это 1, 0, S_k и S₀; S_k символизирует неопределённость, S₀ - бесконечность. Основным числом является всякий нейтральный или поглощающий элемент арифметического действия. Нейтральным элементом действия _° называется число e, обладающее свойством iii), или симметричным к нему свойством e _° x = x (например, 0 для сложения, 1 для умножения); поглощающим элементом - число u, для которого выполнено тождество u _° x = u или x _° u = u (например, 0 для умножения, S_k и S₀ для многих действий). Основные числа можно представить в следующем виде 1 = 1/1, 0 = 0/1, S_k = 0/0, S₀ = 1/0; тем самым они образуют единство.

Таблица, задающая сверхдействие на основных числах, в итоге была построена, однако она также не удовлетворяла требованиям симметрии. Тогда пришла идея искать совокупность единств на множестве основных чисел непосредственно из соображений симметрии; такая совокупность была найдена, она обладала многими замечательными свойствами и была единственной в своём роде. Обобщив эту конструкцию на произвольное множество, автор пришёл к понятию системы единств. Оказалось, что систем единств конечное число и наибольшая из них, вмещающая все остальные, есть первоначальная симметричная система, построенная на множестве основных чисел.

Дадим определение системы единств. Пусть имеется произвольное множество M и некоторое множество E четвёрок элементов из M, E - подмножество множества M⁴. Скажем, что E является системой единств на множестве M, если выполнены следующие условия:

а) для любых элементов x, y и z из M существует единственный элемент t такой, что четвёрка (x, y, z, t) принадлежит E (принцип гармонического дополнения);

б) если четвёрка (x, y, z, t) принадлежит E, то любая четвёрка, полученная из неё перестановкой членов, принадлежит E (полная симметрия);

в) если четвёрка (x, y, z, t) принадлежит E и f - произвольная перестановка (биекция) элементов множества M, то четвёрка (f(x), f(y), f(z), f(t)) принадлежит E (равноправие или изотропность исходного множества).

Две системы единств E и E' на множествах соответственно M и M' назовём изоморфными, если, во-первых, множества M и M' равномощны, а во-вторых, существует такое их взаимно-однозначное соответствие g, что каждому единству (x, y, z, t) из E соответствует единство (g(x), g(y), g(z), g(t)) из E', и наоборот, каждому единству из E' соответствует некоторое единство (его прообраз) из E. Следующая теорема даёт полную классификацию систем единств с точностью до изоморфизма.

Теорема. С точностью до изоморфизма существуют четыре системы единств. Множество E является системой единств на M тогда и только тогда, когда мощность множества M равна 0, 1, 2 или 4 и E есть множество всех тех четверок из M⁴, которые удовлетворяют условию: любые два элемента, входящие в четверку, входят в нее одно и то же число раз (1, 2 или 4 раза).

Доказательство. Покажем, что если |M| > 4, то на M не существует системы единств; дальнейшую классификацию можно провести конечным перебором, который мы опустим. Пусть, напротив, |M| > 4 и E - система единств на M. Пусть x, y, z - попарно различные элементы множества M. Согласно условию а) существует единственный элемент t из M такой, что (x, y, z, t) принадлежит E.

Если t отличен от каждого из x, y, z, то в силу |M| > 4 найдётся элемент u из M, отличный от каждого из x, y, z, t. Рассмотрим перестановку f на множестве M, которая t и u меняет местами, а остальные элементы оставляет на месте. По условию в) четвёрка (f(x), f(y), f(z), f(t)) = (x, y, z, u) принадлежит E, что противоречит единственности t.

Таким образом, t совпадает хотя бы с одним из x, y, z. Пусть, например, t = x (остальные случаи аналогичны), т. е. (x, y, z, x) принадлежит множеству E. По условию б) любая четвёрка, полученная из (x, y, z, x) перестановкой элементов, в частности, (x, x, y, z), также принадлежит E. Пусть элемент v множества M отличен от x, y, z. Рассмотрим перестановку g на множестве M, меняющую местами z и v, а остальные элементы оставляющую на месте. По условию в) четвёрка (g(x), g(x), g(y), g(z)) = (x, x, y, v) принадлежит E, что противоречит условию а): по трём элементам x, x, y четвёртый должен восстанавливаться однозначно.

Полученное противоречие показывает, что системы единств E на множестве M не существует. Тем самым, теорема доказана.

Поговорим далее о свойствах, общих для всех систем единств, а затем опишем каждую из них по-отдельности; все нижеперечисленные утверждения можно проверить конечным перебором, воспользовавшись теоремой.

Пусть E - любая из систем единств на соответствующем множестве M. Для любых элементов x, y, z множества M обозначим через x +_z y тот элемент t, для которого четвёрка (x, y, z, t) является единством, т. е. принадлежит множеству E. Тем самым мы задали серию двуместных действий над числами x и y; номер действия задаётся параметром z. Каждое из этих действий образует абелеву группу, т. е. для него выполнены свойства i)-iv); кроме того, свойства iii) и iv) можно заменить на более сильные:

iii') x +_e e = x (номер действия - нейтральный элемент);
iv') x +_e x = e (каждый элемент противоположен сам себе).

Система единств E вписывается в общую концепцию совокупности единств на абелевой группе; четвёрка (x, y, z, t) является единством тогда и только тогда, когда

t = x +_e y +_e z;

это - частный случай формулы (4); заметим только, что в силу свойства iv') операции +_e каждый элемент совпадает со своим противоположным.

В качестве базовых множеств для систем единств возьмём следующие: M₀ - пустое множество, M₁ = {1}, M₂ = {1, 0}, M₄ = {1, 0, S_k, S₀}. Систему единств на множестве M_m, m = 0, 1, 2, 4, обозначим через E_m. Число элементов в системе E_m равно m³, это видно из условия а). Так, система E₀ пуста, система E₁ содержит одно единство (1, 1, 1, 1), система E₂ состоит из всех восьми двоичных наборов, содержащих чётное число единиц (набор двоичный, если все его элементы - нули или единицы). Наконец, в системе E₄ - 64 единства; четвёртый элемент единства определяется из первых трёх по следующим правилам:

1) если первые три элемента равны между собой, то четвёртый также им равен;

2) если среди первых трёх элементов два равны между собой и отличны от оставшегося, то четвёртый равен этому оставшемуся;

3) если первые три элемента попарно различны, то четвёртый отличен от каждого из них.

Системы единств вкладываются друг в друга в порядке возрастания мощностей. Самая большая из них E₄ обладает исключительными свойствами в связи с тем, что число элементов в множестве M₄ равно 4 и совпадает с числом элементов в четвёрке. Поэтому каждую четвёрку (x, y, z, t) из множества (M₄)⁴ можно интерпретировать как функцию f, действующую из M₄ в M₄, заданную так: f(1) = x, f(0) = y, f(S_k) = z, f(S₀) = t. Оказывается, что если две функции f и g является единствами, то и их композиция, функция f _° g, также является единством, т. е. система единств E₄ функционально замкнута.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Черухин Д. Ю. Теория арифметических действий // Неформальная наука. - М.: График Без Границ, 2001. - No 2.- С. 4-7.
обратно к тексту

(C) Черухин Д. Ю., 2001

на начало статьи : к аннотациям номера : на главную страницу